Ein erstes Beispiel: Der Fünfeckstern mit Umrahmung und .....
Die Figur sieht sehr regelmäßig aus. Was heißt regelmäßig? Z.B., dass Strecken gleich lang, Winkel gleich groß sind und folglich aufeinander passen. Oder dass es Klapp- und Dreh-Symmetrien gibt.
Offensichtlich sind einige Winkel gleich groß? Was heißt hier "offensichtlich"? Woher wissen wir, dass sie gleich groß sind - auch ohne sie zu messen? Wie viele verschieden große Winkel gibt es? Gibt es einen Zusammenhang zwischen ihnen?
Offensichtlich sind einige Strecken gleich lang? Was heißt hier "offensichtlich"? Woher wissen wir, dass sie gleich lang sind - auch ohne sie zu messen? Wie viele verschieden lange Strecken gibt es? Gibt es einen Zusammenhang zwischen ihnen?
Wie konstruiert man eine solche Figur? Womit? Welches Wissen über die Figur brauchen wir dazu?
Wie bauen wir das Wissen über diese Figur auf? Wir können messen - mit der allfälligen Messungenauigkeit. Oder wir können eine Eigenschaft der Figur aus anderen Eigenschaften schließen. Was folgt woraus? Wir müssen die verschiedenen Eigenschaften/Aussagen lokal ordnen.
Die Begründung erfolgt in der Umgangssprache. Wir gehen davon aus, dass uns gewisse Begriffe (wie z.B. der Winkel-Begriff) und die damit verbundenen Grundvorstellungen (z.B. das Winkelfeld, der Richtungsunterschied, die Richtungsänderung) vertraut sind. Wir thematisieren hier weder, wie man diese Grundvorstellungen in der Jugend erwerben kann 2, noch wie man sie mit Hilfe anderer anschaulich evidenter Begriffe (etwa den Winkel als geordnetes Paar von Halbgeraden) "definieren" kann. Doch manchmal ist es sinnvoll, das begriffliche Instrumentarium zu schärfen. Dann führen wir Fachtermini ein (wie z. B. "Wechselwinkel" oder "Umfangswinkel" o. ä.) oder regeln sogar die Sprache durch Formalisierung.
2 Das geschieht in der Veranstaltung "Didaktik der Geometrie".