Strecken und Längen

Eine Strecke AB ist ein durch zwei Punkte A und B begrenztes Geradenstück bzw. - in der Mengensprache - die Menge aller Punkte, die auf der Geraden zwischen A und B liegen; man braucht hier also noch eine Lagebeziehung: "(Punkt) liegt zwischen (zwei Punkten)".
 
Mit dem Begriff "Strecke" ist auch immer die Vorstellung der Länge verknüpft. Zur Geometrie kommt nun auch die Zahl, die Arithmetik ins Spiel.

Wenn die Punkte A, B, C, D in dieser Reihenfolge auf einer Geraden liegen, dann sagen wir "Die Strecke AC ist länger als die Strecke AB und kürzer als die Strecke AD" und schreiben:
ïACï > ïABï und ïACï < ïADï.
Insbesondere folgt aus ïACï= ïADï, wenn C und D auf der selben Seite von A liegen, dass C und D den selben Punkt markieren, also C = D ist - und das werden wir bei Beweisen schon einmal ausnutzen, um zu zeigen, dass zwei Punkte in Wirklichkeit zusammen fallen bzw. dass es sich nur um einen einzigen Punkt handelt.

Um die Entfernung zweier Punkte A und B zu bestimmen, muss man die Strecke AB zeichnen und ihre Länge angeben. Für die Länge einer Strecke gilt:

• Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte A und B.

Anders ausgedrückt: Wenn C ein beliebiger dritter Punkt ist, dann gilt stets:

• ïABï < ïACï + ïCBï ;
  die Gleichheit gilt genau dann, wenn C zwischen A und B liegt.

Die selbe Ungleichung, noch einmal anders gesehen: Wir betrachten die drei Punkte als Eckpunkte eines Dreiecks; dann liest sich die Ungleichung so:

• In einem Dreieck ist eine Seite immer kürzer als die beiden anderen Seiten zusammen, im degenerierten Sonderfall höchstens genau so lang.

Man nennt diese Ungleichung daher auch die Dreiecks-Ungleichung.