Winkelhalbierende
Die Brückenfunktion der Kongruenz-Sätze wollen wir noch am Beispiel
einiger Sätze über Winkelhalbierende erläutern.
Einen Winkel halbieren, heißt, zu den beiden Schenkeln a und b einen
dritten Schenkel c zwischen a und b anzugeben, so dass der Winkel zwischen a
und c gleich dem Winkel zwischen c und b ist; man nennt c dann die Winkelhalbierende.
Es gilt:
- Ist Q eine beliebiger Punkt auf der Winkelhalbierenden
, dann hat Q den gleichen Abstand von den beiden Schenkeln a und b.
Es gilt auch die Umkehrung:
- Hat Q den gleichen Abstand von den beiden Schenkeln
a und b, dann liegt Q auf der Winkelhalbierenden des zugehörigen Winkels.
Analyse der zweiten Aussage und Beweis:
Mit S bezeichnen wir den Scheitel des Winkels, mit A bzw. B den Lotfußpunkt des Lotes
von Q auf a bzw. auf b.
Voraussetzung:
- Die Winkel SAQ und SBQ sind gleich groß, nämlich rechte Winkel (Konstruktion
von A bzw. B).
- Die Strecken AQ und BQ sind gleich lang (Voraussetzung in der Aussage).
Behauptung:
Die Winkel ASQ und BSQ sind gleich groß.
Beweis:
Betrachte die beiden Dreiecke SQA und SQB.
- Die beiden Dreiecke haben die Seite SQ gemeinsam.
- Nach Voraussetzung 2 sind die Seiten AQ und BQ gleich lang.
- Nach Voraussetzung 1 sind die Winkel SAQ und SBQ gleich groß.
Folglich stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten und einem Winkel überein. Es
ist allerdings nicht der eingeschlossene Winkel, sondern der Winkel, der der Seite SQ
gegenüber liegt: Nun ist aber die Strecke von Q bis zum Lotfußpunkt A bzw. B die
kürzest mögliche zwischen Q und einem Punkt der Geraden a bzw. b; also ist SQ in
beiden Dreiecken die größere der bekannten Seiten.
Nach dem Kongruenz-Satz SSWgr stimmen die Dreiecke
also auch in den übrigen Stücken überein, d.h. die Winkel ASQ und BSQ sind
gleich groß.
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