Parabel, Ellipse, Hyperbel

Zur Erinnerung:

• Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, bei denen die Entfernung zu einem festen Punkt gleich dem Abstand zu einer festen Gerade, der Leitgerade, ist.

Eine Variation:
Gegeben ein Punkt A und eine Gerade l ("Leitgerade"). Gesucht ist die Menge aller Punkte, bei denen die Entfernung zum Punkt A und der Abstand zur Leitgerade l in einem festen Verhältnis stehen.

Wenn dieses Verhältnis 1 ist, ergibt sich eine Parabel. Was passiert, wenn das Verhältnis kleiner als 1 ist? Was, wenn es größer als 1 ist?

Auch ohne zu zeichnen, erkennt man, dass auf dem Lot von A auf die Leitgerade l (Lotfußpunkt C) ein "besonderer" Punkt B der Ortslinie liegt: Er hat die kürzeste Entfernung zum Punkt A bzw. den kürzesten Abstand zur Leitgerade l; wie bei der Parabel wollen wir ihn Scheitelpunkt der Ortslinie nennen. Beidseitig der Senkrechten zur Leitgerade durch den Scheitelpunkt müssen die Punkte der gesuchten Ortslinie symmetrisch liegen (Warum?). Deshalb nennen wir diese Senkrechte auch wie bei der Parabel die Achse der gesuchten Ortslinie, genauer die Haupt-Achse; denn wir werden gleich sehen, dass es noch eine Symmetrie-Achse gibt, die wir dann Neben-Achse nennen.

Wie macht man nun aus der statischen Definition der gesuchten Ortslinie eine dynamische Version für das DGS?

Der Fall "Verhältnis kleiner als 1"

Teilproblem: Konstruktion eines gesuchten Punktes
Wie konstruiert man einen Punkt P, von dem die Entfernung PA und der Abstand PC' zur Leitgerade in einem festen Verhältnis, kleiner als 1, stehen? Wir charakterisieren das Verhältnis durch einen Punkt B auf der Strecke AC; d.h. AB ist kürzer als BC (Zur Orientierung ist der Mittelpunkt von AC als kleiner Punkt eingetragen.)

Ortslinie für den gesuchten Punkt
"In einem Verhältnis stehen" assoziiert "Winkelhalbierende". Von der Winkelhalbierenden wissen wir: Sie schneidet die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten. Wir übertragen deshalb das Verhältnis AB : BC auf die Strecke AC' und erhalten den Punkt B'. Der gesuchte Punkt P ist also der dritte Punkt im Dreieck AC'P, in dem PB' die Winkelhalbierende des Winkels bei P ist.
Anders ausgedrückt:
Der gesuchte Punkt P liegt auf der Ortslinie der Punkte, von denen man die Strecken AB' und B'C' unter dem selben Blickwinkel sieht.

Diese Ortslinie ist ein Kreis, wie wir gesehen haben.

Konstruiere zu den Punkten A, B', C' den Mittelpunkt F' des "Blickwinkel"-Kreises.
Der Radius ist F'B'.
Es gilt: F'A : F'B' = AB' : B'C'.

Wo liegt nun der Punkt P, von dem die Entfernung PA und der Abstand PC' zur Leitgerade im Verhältnis AB : BC stehen?
P liegt auf dem "Blickwinkel"-Kreis um F' mit dem Radius F'B' und auf der Senkrechten auf die Leitgerade durch C'.

Ein Kreis hat aber mit einer Geraden zwei, einen oder keinen Schnittpunkt.
 
Wenn es zwei Schnittpunkte P und Q gibt, dann liegen sie symmetrisch zu der Parallelen zur Leitgerade durch F'. Deshalb nennen wir diese Parallele auch Neben-Achse der gesuchten Ortslinie und F als Schnittpunkt von Haupt- und Neben-Achse ihren Mittelpunkt.

<<   >>