Diskussion der Lösungsfälle

Die Lage des Punktes B zwischen A und C charakterisiert die drei möglichen Fälle, nämlich dass das vorgegebene Streckenverhältnis kleiner als 1, größer als 1 oder gleich 1 ist. Im ersten Fall ist die gesuchte Ortslinie ein Kreis, der A umschliesst und bei dem C im Äußern liegt. Im zweiten Fall ist es umgekehrt.
Und im dritten Fall?

Rückblick:
Die selbe Lösung - eine andere Aufgabe
Wir können die Lösungsfigur mit anderen Augen anschauen: PB ist Winkelhalbierende in dem Dreieck PAC. Von der Winkelhalbierenden wissen wir: Sie schneidet die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten.
Also gilt PA : PC = AB : BC und zwar für alle Punkte P auf der gefundenen Ortslinie.
Durch unsere Konstruktion haben wir demnach auch das folgende Problem gelöst:

Gegeben zwei Punkte A und C. Gesucht ist die Menge aller Punkte, von denen die Entfernungen zu den Punkten A und C in einem festen Verhältnis stehen.

Hier noch einmal die Lösung, kurz gefasst:
Zeichne die Gerade durch A und C und zwischen A und C einen Punkt B, so dass AB : BC gleich dem vorgegebenen festen Verhältnis ist. Dann konstruiere den Punkt F auf dieser Geraden so, dass FA : FB = AB : BC gilt. Der Kreis um F mit dem Radius FB ist die gesuchte Ortslinie.

Hier taucht zweimal die Anweisung auf, auf einer Geraden zu zwei gegeben Punkten einen dritten zu konstruieren, so dass die drei in einem vorgegebenem Verhältnis stehen. Die Strahlensätze liefern dazu mögliche Verfahren.
Hier eine Lösung, bei der D und E so konstruiert wurden, dass AD = AB und BE = BC ist.

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