"Blickwinkel"-Kreis
Gegeben drei Punkte A, B und C auf einer Geraden a. Gesucht
ist die Menge aller Punkte, von denen aus man die Strecken AB und BC unter dem selben Blickwinkel
sieht.
Das ist die statische Definition einer gesuchten Ortslinie. Wie macht man daraus
eine dynamische Version für das DGS?
Teilproblem: Konstruktion eines gesuchten Punktes
"Blickwinkel" assoziiert "Kreis": Alle Punkte, von denen man die Strecke AB unter
einem festen Blickwinkel a sieht, liegen auf einem Kreis mit der Sehne AB und dem Mittelpunktswinkel
2a. Alle Punkte, von denen man die Strecke BC unter dem Blickwinkel
a sieht, liegen auf einem Kreis mit der Sehne BC und dem Mittelpunktswinkel
2a.
Um einen Punkt P zu konstruieren, von dem aus man die Strecken AB und BC unter dem selben
Blickwinkel a sieht (die Größe von a
ist egal), sollten wir also zwei Kreise (Mittelpunkte D und E) mit gleichen
Mittelpunktswinkeln über den Sehnen AB und BC konstruieren.
Erkläre die Lösung dieses Teilproblems.
Zugmodus: Ortslinie
Bewege nun D auf der Mittelsenkrechten von AB.
Wenn du richtig konstruiert hast, bewegt sich E entsprechend auf der Mittelsenkrechten von BC.
P bewegt sich auf der gesuchten Ortslinie.
Es ist "offensichtlich" ein Kreis. Sein Mittelpunkt F ist der
Schnittpunkt der Geraden a mit der Verbindung der beiden Mittelpunkte D und E.
Warum ist das so?
Die beiden Kreise um D und E haben die Strecke PB als gemeinsame Sehne; also liegen D und E auf der
Mittelsenkrechten von PB.
Für den Schnittpunkt F dieser Mittelsenkrechten mit der Geraden a gilt dann FP = FB
Bleibt noch die Frage: Warum bewegt sich F nicht, wenn man D bewegt?
Die Begründung hierfür liefern die Strahlensätze: FA : FB = DA : EB = AB : BC, d.h.
das Verhältnis FA : FB und damit die Lage von F hängt nur von der Lage der Punkte A, B, C
zueinander ab, nicht aber von der Position von D.