Punktspiegelung

Wir wollen nun die Bewegungen systematisch untersuchen. Zuerst ein wichtiger Sonderfall.

Definition:

Einfache Folgerungen aus der Definition der Punkt-Spiegelung liefern die übliche Konstruktion:

1. Der Schnittpunkt P der beiden Spiegel-Geraden ist Fixpunkt der Punkt-Spiegelung; denn ...
   P ist der einzige Fixpunkt; denn angenommen, es gäbe noch einen zweiten Fixpunkt Q ...
   (zeige: dann ist jeder Punkt der Ebene Fixpunkt; das kann nicht sein, denn ...)
    
2. Ein Punkt A ¹ P soll abgebildet werden.
• Der Bildpunkt A' muss auf der Geraden durch A und P liegen, denn ...
• Der Bildpunkt A' muss auf der anderen Seite von P im gleichen Abstand von P wie der Punkt A liegen, denn ...

Kurz gesagt: P ist Mittelpunkt der Strecke AA'.

3. Alle Geraden durch P sind Fixgeraden.
    
4. Gerade und Bildgerade sind parallel (oder gleich).
    
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5. Sind g₁ und h₁ zueinander senkrechte Geraden und g₂ und h₂ ebenfalls
   und gehen alle vier Geraden durch denselben Punkt P,
   dann bilden die beiden HAF s_g1 o s_h1 und s_g2 o s_h2 dieselbe Punkt-Spiegelung.

Die Aussage e) hat folgende praktische Bedeutung:
Wenn wir eine Punkt-Spiegelung als HAF zweier (Geraden-) Spiegelungen darstellen wollen, ist die einzige Bedingung, die wir erfüllen müssen, dass die beiden Geraden senkrecht stehen und durch das Zentrum der Punkt-Spiegelung gehen; ansonsten dürfen sie beliebig liegen, und auch die Reihenfolge bei der HAF ist egal.

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