Definition:
  Eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung in dieser Menge heißt Gruppe, wenn

1. die Verknüpfung abgeschlossen ist, d.h. das Ergebnis der Verknüpfung zweier Elemente der Menge wieder ein Element der Menge ist,
2. die Verknüpfung assoziativ ist,
3. ein neutrales Element in der Menge existiert, dessen Verknüpfung mit einem Element der Menge, gleich in welcher Reihenfolge, immer dieses Element ergibt,
4. zu jedem Element der Menge ein inverses Element in der Menge existiert, das ist ein Element, dessen Verknüpfung mit dem Element, gleich in welcher Reihenfolge, das neutrale Element ergibt.

Die Anzahl der Elemente in einer endlichen Gruppe heißt Ordnung der Gruppe.

• Die Menge der Symmetrien einer Figur (eines Körpers) mit der HAF als Verknüpfung bilden eine Gruppe.

Beispiel: Symmetriegruppe des Quadrats

{id, s_a , s_b , s_c , s_d , d_90° , d_180° , d_270°}

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