Fundamental sind die folgenden beiden Aussagen:

¶ Satz von der Abgeschlossenheit der Symmetrien

Die HAF zweier (mehrerer) Symmetrien einer Figur (eines Körpers) ist wieder eine Symmetrie dieser Figur (dieses Körpers).

Anders formuliert: Die Symmetrien einer Figur (eines Körpers) sind bezüglich der HAF (als Verknüpfung) abgeschlossen.

¶ Satz von der Existenz der inversen Symmetrie

Jede Symmetrie einer Figur (eines Körpers) besitzt auch eine inverse Symmetrie. Das ist eine Bewegung, deren HAF mit der Symmetrie die identische Abbildung ergibt.

Die HAF ist so etwas wie eine Rechenoperation in der Menge der Symmetrien einer Figur (eines Körpers). Man kann Symmetrien daher auch mit algebraischen Mitteln untersuchen. Dabei kommt als fundamentale algebraische Struktur die Gruppe ins Spiel.

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