Wenn wir die räumlichen Bewegungen so systematisch aufbauen
wollten wie die ebenen, müssten wir mit den Spiegelungen an Ebenen beginnen. Sie haben die
unangenehme Eigenschaft, dass man durch keine reale Bewegung im Raum den Körper auf
seinen Bild-Körper abbilden kann. (Wer’s nicht glaubt, versuche einen linken Handschuh auf
die rechte Hand zu ziehen.)
Solche Abbildungen nennt man uneigentliche Abbildungen im
Gegensatz zu den eigentlichen wie Drehung und Verschiebung.
Wir betrachten im folgenden nur eigentliche Bewegungen (ohne das Attribut ständig hinzu zu fügen).
Eigentliche Bewegungen sind (außer der Identität)
Drehungen, charakterisiert durch die Drehachse und den Drehwinkel,
Translationen, charakterisiert durch Richtung und Länge der Verschiebung,
und deren HAF, speziell Schraubungen, charakterisiert durch eine
Drehung und eine Translation in Richtung der Drehachse.
Es geht wieder darum, symmetrische räumliche Gebilde ("reguläre Körper") unter die Lupe zu nehmen und die zugehörigen Symmetrie-Gruppen zu ermitteln.
Wenn in einer solchen Gruppe Translationen auftauchen, muss sie unendlich sein, das zugehörige Gebilde ist also mindestens in einer Richtung unbeschränkt. Solche Untersuchungen sind in der Kristallographie interessant.
Wir wollen uns aber auf endliche Gruppen beschränken.
Das bedeutet, dass wir es ab sofort nur noch mit Drehungen zu tun haben.