Tetraeder-Gruppe

Der einfachste regelmäßige ("reguläre") Körper ist das oder der Tetraeder ("Vierflächner"). Es/er ist die Lösung der Denksport-Aufgabe: Lege aus sechs gleich langen Hölzchen vier kongruente Dreiecke.

Ein Tetraeder entsteht auch, wenn man von sechs gleich langen Hölzchen eins auf den Tisch legt, ein zweites in einem gewissen Abstand darüber hält und zwar so, dass es von oben betrachtet senkrecht zum ersten ist, und beide Enden des ersten Hölzchens mit beiden des zweiten verbindet.

Satz über die Tetraeder-Gruppe

• Die Tetraeder-Gruppe hat die Ordnung 12 und besteht aus der Identität, sowie
  je zwei Drehungen um 120° bzw. 240° um die vier Körperachsen (das sind die Verbindungen der Ecken mit den Mitten der gegenüberliegenden Dreiecke).
  je einer 180°-Drehung um die drei Kantenmitten-Achsen (das sind die Achsen durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Kanten).

Als Ordnung der Untergruppen kommen nach dem Satz von Lagrange 1, 2, 3, 4, 6 in Frage. Die Untergruppen der Ordnung 3 erhält man z.B., wenn man an die Symmetrie die Nebenbedingung stellt, dass sie eine Dreiecksfläche des Tetraeders auf sich abbildet ("fix lässt"); die einzig mögliche Drehachse ist dann die Körperachse senkrecht zu dieser Dreiecksfläche mit den Drehungen um 120°, um 240° und um 0° (Ordnung 3); da es vier solcher Dreiecksflächen gibt, erhält man vier verschiedene Untergruppen der Tetraeder-Gruppe. Die Tabelle gibt einen Überblick über die anderen Untergruppen. Nicht immer, wenn eine Untergruppe nach dem Satz von Laplace möglich wäre, gibt es auch eine: Die Tetraeder-Gruppe hat keine Untergruppe der Ordnung 6.

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