Würfel-Gruppe

Der nächsteinfache reguläre Körper ist der Würfel oder Hexaeder ("Sechsflächner").
 

Satz über die Würfel-Gruppe

• Die Würfel-Gruppe hat die Ordnung 24 und besteht aus der Identität, sowie
  je drei Drehungen (90°, 180°, 270°) um die drei Flächenmitten-Achsen,
  je einer 180°-Drehung um die sechs Kantenmitten-Achsen,
  je zwei Drehungen (120°, 240°) um die Raum-Diagonalen.
   

Welche Ordnung kann eine Untergruppe der Würfel-Gruppe nach dem Satz von Lagrange haben? Gibt es zu jeder mögliche Ordnung auch eine Untergruppe? Welche Elemente enthält sie? Welche Teilgebilde des Würfels lässt sie fix?
 

Zeichne, von einer Ecke ausgehend, die drei Flächen-Diagonalen und von den Endpunkten dieser Diagonalen wieder die Flächen-Diagonalen: Du erhältst ein Tetraeder. Sein Volumen beträgt ein Drittel des Würfel-Volumens (Prüfe nach).
Dass sich auf diese Weise ein Tetraeder eienm Würfel einbeschreiben lässt, hat etwas mit der obigen Frage nach den Untergruppen der Würfel-Gruppe zu tun. Wieso?

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Bei der Konstruktion wurden vier Würfel-Ecken nicht erreicht. Diese bilden ebenfalls ein Tetraeder, das um 90° gegenüber dem obigen gedreht ist. Zeichne es.
 

Beide Tetraeder zusammen bilden ein Gebilde, das in der Natur als Kristall auftritt. Johannes Kepler (1571 - 1630) nannte es "stella octangula" ("Achteck-Stern"). Das Volumen dieses Sternkörpers beträgt die Hälfte des Würfel-Volumens (Prüfe nach).
Welche Symmetrie-Gruppe hat dieser Sternkörper?

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