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Polyeder

Ein (der oder das) Polyeder ("Vielflächner") besteht aus Ecken, Kanten und Flächen. Die Flächen sind Polygone (Vielecke). Jede Kante gehört zu genau zwei Flächen.
Der Sternkörper ist ein Polyeder mit 24 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 14 Ecken und 36 Kanten. Die Dreh-Symmetrien des Sternkörpers sind dieselben wie die des Würfels.
 

Definition:

Ein Polyeder heißt konvex, wenn für jede seiner Flächen gilt: Das Polyeder liegt ganz auf einer Seite der Ebene, in der die Fläche liegt
(anders ausgedrückt: Das Polyeder liegt ganz in einem der beiden durch die Fläche festgelegten Halbräume).

Würfel und Tetraeder sind konvex, der Sternkörper offensichtlich nicht.
Der konvexe Kern des Sternkörpers, der Körper, den beide Tetraeder einschließen, ist ein Oktaeder ("Achtflächner"). Er besteht aus acht Flächen (gleichseitigen Dreiecken), sechs Ecken und zwölf Kanten.
·  Die Dreh-Symmetrien des Oktaeders sind dieselben wie die des Würfels.
 

Oktaeder und Würfel sind dual, d.h. durch die Verbindung der Mitten benachbarter Flächen erhält man aus einem Würfel einen Oktaeder und umgekehrt. Dabei heißen zwei Flächen eines Polyeders benachbart, wenn sie eine Kante gemeinsam haben.
Daraus folgt für duale Körper: Der Flächenzahl des einen Körpers entspricht die Eckenzahl des anderen und umgekehrt; die Kantenzahlen sind gleich.
Das Tetraeder ist zu sich selbst dual (Prüfe nach).

 

 

 

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