I.3. Eselsbrücke

Die Seiten(längen) des Dreiecks hängen zusammen über die Dreiecks-Ungleichung, die Winkel des Dreiecks hängen zusammen über die Winkelsummen-Gleichung.
Wir brauchen Brücken, die uns gestatten, aus dem Land der Strecken in das Land der Winkel zu gelangen und umgekehrt, d.h. von Seiten(längen) auf Winkel zu schließen und umgekehrt.

Die elementarste dieser Aussagen nennen wir deshalb:

Eselsbrücke

• Sind in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang, dann sind die gegenüber liegenden Winkel gleich groß.
• Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, dann sind die gegenüber liegenden Seiten gleich lang.

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt auch gleichschenklig; die dritte Seite heißt auch Basis des gleichschenkligen Dreiecks. Die Winkel, die an der Basis anliegen, heißen Basiswinkel, der dritte Winkel heißt Winkel an der Spitze. Dann lautet eine andere Formulierung der Eselsbrücke.

• In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
• Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, dann ist es gleichschenklig.

In einem üblichen axiomatischen Aufbau der Geometrie stehen diese Aussagen keineswegs am Anfang. Sie werden aus den Kongruenz-Sätzen für Dreiecke abgeleitet. Und diese wiederum? Deren Beweis setzt Aussagen über die eindeutige Abtragbarkeit von Strecken und Winkeln voraus, die man als Kongruenz-Axiome an den Anfang stellt (vgl. z.B. N: W: Efimow, Höhere Geometrie I, Berlin 1970).

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