Eselsbrücke und Mittelsenkrechte

Eine elementare Eigenschaft der Eselsbrücke, des gleichschenkligen Dreiecks, ist ihre Falt- oder Spiegelsymmetrie. Die Spiegelgerade oder Faltlinie ist die Mittelsenkrechte der Basis des gleichschenkligen Dreiecks.

• In einem gleichschenkligen Dreieck geht die Mittelsenkrechte der Basis durch die Spitze des Dreiecks.
  Anders formuliert: Ist C gleich weit von den beiden Punkten A und B entfernt, dann liegt C auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.
• Geht in einem Dreieck die Mittelsenkrechte einer Seite durch die gegenüberliegende Ecke, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
  Anders formuliert: Ist C ein beliebiger Punkt auf der Mittelsenkrechten von AB, dann ist C gleich weit von den Endpunkten A und B entfernt.

Mittelsenkrechten gehören zu den besonderen Linien im Dreieck. Es gilt:

Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck:

• In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt.
• Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, d.h. einen Kreis, der durch alle Eckpunkte geht. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Beweisidee:
Der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten ist gleichweit von den drei Ecken des Dreiecks entfernt. Also liegt er auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

Analogien zwischen Ebene und Raum Was in der Ebene der Kreis, ist im Raum die Kugel. Was in der Ebene das Dreieck, ist im Raum die Dreieckspyramide. Sie besteht aus einer dreieckigen Grundfläche, deren Ecken mit der Spitze der Pyramide verbunden sind und so drei dreieckige Seitenflächen bilden. Wo liegen alle Punkte, die von zwei Ecken der Pyramide gleich weit entfernt sind? Besitzt jede Dreieckspyramide eine Umkugel?

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