Lösung von Konstruktionsproblemen mit Hilfe von Ortslinien

1. Beispiel:
Gegeben ein Kreis um M mit dem Radius r und ein Punkt A. Sei B ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. Konstruiere die Punkte C und D so, dass ABCD ein Quadrat ist. (Es gibt zwei Möglichkeiten; entscheide dich für eine.)

Bewege nun den Punkt B auf dem Kreis.

1. Auf welcher Ortslinie bewegt sich der Eckpunkt D des Quadrats?
   Es ist "offensichtlich" ein Kreis mit dem Radius r. Lass dir seinen Mittelpunkt E durch das DGS zeichnen.
   Verändere die Lage des Punktes A in Bezug auf den gegebenen Kreis um M und beobachte die Lage von E in Bezug auf M und A. (Zeichne das Dreieck MAE, dann ist es ganz leicht.) Wie könntest du E zu gegebenem M und A konstruieren?
    
   Spießumkehr!
   Voraussetzung:
   Zu gegebenem M und A sei E so konstruiert, wie gerade herausgefunden.
   Behauptung:
   Für jedes B auf dem Kreis um M mit dem Radius r gilt ïMBï = ïEDï, d.h. wenn sich B auf dem Kreis um M bewegt, bewegt sich D auf einem Kreis um E mit dem Radius r.
   Beweisidee:
   Betrachte die Dreiecke MAB und EAD und zeige, dass sie auf Grund des Kongruenz-Satzes SWS kongruent sind.
    
2. Auf welcher Ortslinie bewegt sich der Eckpunkt C des Quadrats?
   Es ist "offensichtlich" wieder ein Kreis, diesmal mit einem größeren Radius. Lass dir seinen Mittelpunkt F durch das DGS zeichnen.
   Fahre fort wie oben. Beim Beweis der Spießumkehr wird es problematisch: Die Dreiecke MAB und FAC sind nämlich nicht kongruent sondern ähnlich.

2. Beispiel:
Gegeben eine Gerade g und ein Punkt A außerhalb der Geraden. Sei B ein beliebiger Punkt auf g. ("Beliebig" heißt bei der DGS-Konstruktion, dass du B auf g bewegen kannst ohne die Gerade g zu bewegen!) Konstruiere den Punkte C so, dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist. (Es gibt zwei Möglichkeiten; entscheide dich für eine.)

Bewege nun den Punkt B auf der Geraden g. Auf welcher Ortslinie bewegt sich der Eckpunkt C des gleichseitigen Dreiecks?
Es ist "offensichtlich" eine Gerade - wir nennen sie h - , die die Gerade g in einem Punkt S schneidet. Experimentiere,

1. indem du B auf g bewegst,
2. indem du A bewegst,

Spießumkehr!
Voraussetzung:
Zur gegebenen Gerade g und zum gegebenen Punkt A außerhalb von g seien die Punkte R und S konstruiert, wie gerade herausgefunden.
Konstruiere außerdem zu einem beliebigen Punkt B (¹ S) der Geraden g ein gleichseitiges Dreieck ABC (mit der gleichen Orientierung wie das Dreieck ARS).
Wichtig für das Folgende: Der Winkel BRA ist durch den Winkel SRA festgelegt; je nach Orientierung ist er 60° oder 120°.
Behauptung:
Für alle Punkte C ist der Winkel CSA gleich groß wie der Winkel BRA, folglich 60° oder 120° je nach Orientierung. Also liegen alle Punkte C auf einer Geraden h, die die Gerade g unter dem Winkel BRA schneidet.
Beweisidee:
Betrachte die Dreiecke BAR und CAS und zeige, dass sie auf Grund des Kongruenz-Satzes SWS kongruent sind.
Folglich sind die Winkel BRA und CSA gleich groß.

3. Beispiel:
Gegeben ein Kreis um M mit dem Radius r und ein Punkt A. Sei B ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. Konstruiere den Punkt C so, dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist. (Es gibt zwei Möglichkeiten; entscheide dich für eine.)
Bewege nun den Punkt B auf dem Kreis. Auf welcher Ortslinie bewegt sich der Eckpunkt C des gleichseitigen Dreiecks?
Beschreibe die Ortslinie möglichst genau.
Verändere den Radius des gegebenen Kreises um M. Wie verändert sich die Ortslinie?
Verändere die Lage von A in Bezug auf den Kreis um M. Welche Fälle treten auf? Beschreibe sie möglichst genau.
 
Dann drehe den Spieß um!

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