Ellipse

Eine statische Definition der Ellipse ist die folgende:

• Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Entfernungen von zwei festen Punkten A und B eine konstante Summe haben.

Eine praktische Umsetzung der statischen Definition ist die sogenannte "Gärtner-Konstruktion": Nimm einen Faden und befestige seine Enden an den Punkten A und B, aber so, dass er noch ganz locker ist. Nun lege einen Bleistift so an den Faden an, dass er stramm wird. Bewege den Bleistift nun entlang des strammen Fadens, der ja in seiner Länge immer konstant bleibt: Du zeichnest eine Ellipse.

Wie macht man aus der statischen Definition eine dynamische Version für das DGS?
Lege die beiden Punkte A und B fest. Die konstante Entfernungssumme r muss natürlich größer als die Länge der Strecke AB sein. Zeichne den Kreis um A mit dem Radius r, den sogenannten Leitkreis, und einen beliebigen Punkt C darauf: AC ist sozusagen der Faden, nur am falschen Endpunkt C befestigt; wir müssen die Strecke AC irgendwo - in einem Punkt P - "knicken", so dass ïPCï = ïPBï ist. Das bedeutet: P ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten g von BC mit der Strecke AC.
Bewege nun C auf dem Leitkreis, dann bewegt sich P auf einer Ellipse.

Die Mittelsenkrechte g von BC hat noch zwei weitere interessante Eigenschaften:

• Der Winkel, den die Strecke AP mit ihr bildet, ist genau so groß wie der, den die Strecke BP mit ihr bildet. (Warum?)
  Anschaulich: Betrachtet man AP als einen Lichtstrahl und die Mittelsenkrechte g als einen Spiegel, dann läuft der reflektierte Strahl durch B. Egal welche Richtung der Strahl AP hat, der mit dem Punkt P mitlaufende Spiegel g reflektiert die Strahlen immer so, dass sie in B gebündelt werden. Das Gleiche gilt auch von B aus in Richtung A. Deshalb heißen A und B auch die Brennpunkte der Ellipse.
• Für jeden anderen Punkt Q der Mittelsenkrechten g gilt: Die Summe der Entfernungen von Q nach A bzw. B ist größer als die Entfernungssumme r von P. (Beweis mit Hilfe der Dreiecks-Ungleichung)
  Anschaulich: P ist der einzige Punkt, den die Gerade g mit der Ellipse gemeinsam hat; alle anderen Punkte von g liegen außerhalb der Ellipse. Man nennt deshalb g auch die Tangente an die Ellipse im Punkt P.

Nutze den Zug-Modus: Verändere den Kreisradius r (= Entfernungssumme). Wie ändert sich die Form der Ellipse?

<<   >>