Parabel

Um eine Parabel - zunächst statisch - zu definieren, gehen wir von einer festen Geraden l, der "Leitgerade", und einem festen Punkt B außerhalb von l aus:

• Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, bei denen die Entfernung zu dem festen Punkt B gleich dem Abstand zur Leitgerade l ist.

Auch ohne zu zeichnen, erkennt man, dass

• der Punkt "in der Mitte zwischen B und l" ein besonderer ist: Er hat die kürzeste Entfernung zum Punkt B bzw. den kürzesten Abstand zur Leitgerade l; man nennt ihn den Scheitelpunkt der Parabel. Beidseitig der Senkrechten zur Leitgerade durch den Scheitelpunkt müssen die Parabelpunkte symmetrisch liegen (Warum?). Deshalb nennt man diese Senkrechte auch die Achse der Parabel.
• die Parabel keine geschlossene Kurve sein kann; denn die Abstände/Entfernungen werden immer größer, je weiter man sich vom Scheitelpunkt entfernt.

Wie macht man aus der statischen Definition eine dynamische Version für das DGS?
Lege die Leitgerade l und den Punkt B fest. "Abstand" assoziiert "Senkrechte". Sei A ein beliebiger Punkt auf l und a die Senkrechte zu l durch A. Dann muss es auf a einen Parabelpunkt P geben, für den ïPAï = ïPBï gelten soll. Also ist P der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten g von AB mit a. Bewege nun A auf der Leitgerade l, dann bewegt sich P auf der Parabel.

Die Mittelsenkrechte g von AB hat noch zwei weitere interessante Eigenschaften:

• Der Winkel, den die Strecke AP mit ihr bildet, ist genau so groß wie der, den die Strecke BP mit ihr bildet. (Warum?)
  Anschaulich: Betrachtet man die Gerade, die durch P senkrecht zu l verläuft, als einen Lichtstrahl und die Mittelsenkrechte g als einen Spiegel, dann läuft der reflektierte Strahl durch B. Alle parallelen Strahlen senkrecht zur Leitgerade werden so in B gebündelt. Deshalb heißt B auch Brennpunkt der Parabel. Die beschriebene Eigenschaft wird beim Parabolspiegel ausgenutzt. Wie muss der Parabolspiegel für den Fernseh-Empfang ausgerichtet sein?
• Für jeden anderen Punkt Q der Mittelsenkrechten g gilt: Der Abstand von Q zur Leitgerade l ist kleiner als die Entfernung von Q zu B. (Warum?) Anders ausgedrückt: P ist der einzige Punkt, den die Parabel mit der Geraden g gemeinsam hat; alle anderen Punkte der Parabel liegen in der von g bestimmten Halbebene, in der auch der Brennpunkt liegt. Man nennt deshalb g auch die Tangente an die Parabel im Punkt P.

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