I.6. Strahlensätze und Ähnliches (2/12)

Seitenhalbierende

Als Folgerung aus dem Sonderfall und seiner Umkehrung erhalten wir den

Satz von den Seitenhalbierenden:

In einem Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt, dem Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.

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Beweis:
P, Q, R sind die Seitenmitten, AP und CR also zwei Seitenhalbierenden mit dem Schnittpunkt S. Zeichne durch P und R eine Gerade.
In die Beweisfigur kann man auf zwei Weisen die Strahlensatz-Figur (Sonderfall) "hi-neinsehen". (Wo liegt jeweils der Scheitel des Zweistrahls?) Dann gilt:

Die Gerade AC ist parallel zu PR und die Strecke AC ist doppelt so lang wie PR; denn ...
Die Strecke CS ist doppelt so lang wie SR und die Strecke AS ist doppelt so lang wie SP, denn ... . Zwischenstand: Der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden AP und CR teilt diese im Verhältnis 2:1.
Wir können den selben Gedankengang für die Seitenhalbierenden AP und BQ durchführen mit dem Ergebnis: Der Schnittpunkt S* der Seitenhalbierenden AP und BQ teilt diese im Verhältnis 2:1.
Da AP in beiden Fällen im Verhältnis 2:1 geteilt wird, muss S* = S sein.

Gegeben ein Kreis um M mit dem Radius r. Markiere drei Punkte A, B, C auf dem Kreis und zeichne das Dreieck ABC. Konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks.

Bewege nun C auf dem Kreis. Auf welcher Ortslinie bewegt sich S?

Es ist "offensichtlich" ein Kreis. Lass dir seinen Mittelpunkt Q durch das DGS zeich-nen. Bewege mit dem Zugmodus verschiedene Objekte, um die Lage von Q und den Radius des neuen Kreises herauszufinden.

Dann drehe den Spieß um!

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