Besondere Linien und Punkte im Dreieck
Die Dreiecke ABC und A'B'C' sind in einem tiefen Sinne verwandt: Man kann jedes aus dem anderen durch Zeichnen gewisser Parallelen erzeugen.
Nach dem Satz von den zentrisch ähnlichen Dreiecken gibt es eine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck A'B'C' abbildet; der Streckfaktor ist k = -2. Das Streckzentrum ist der Schnittpunkt der Strecken AA' und BB' und liegt auch auf CC'. Diese Strecken sind die Seitenhalbierenden im Dreieck A'B'C' (und im Dreieck ABC). Damit haben wir einen neuen Beweis für den Satz von den Seitenhalbierenden, wobei der Schwerpunkt gleich dem Streckzentrum ist.
Bei der genannten zentrischen Streckung wird der Umkreis-Mittelpunkt des Dreiecks ABC auf den Umkreis-Mittelpunkt des Dreiecks A'B'C' abgebildet (warum?). Dieser ist aber zugleich Höhen-Schnittpunkt im Dreieck ABC. Also gilt der
Satz von der Eulerschen Geraden: