II.3. Bewegungen

Die zentrischen Streckungen sind geraden- und winkeltreu, aber i.a. nicht längentreu. Bewegungen oder Kongruenz-Abbildungen sind Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, die auch diese Eigenschaft noch besitzen und damit Figuren oder Körper in deckungsgleiche Figuren oder Körper abbilden.

Eine besondere Rolle spielen dabei die Spiegelungen. In der Ebene sind es die Geraden-Spiegelungen, im Raum die Ebenen-Spiegelungen (Spiegelungen an Ebenen).

Wir betrachten im folgenden zunächst nur ebene Bewegungen.

(Geraden-)Spiegelung

Definition:

Eine Abbildung (¹ identische Abbildung) heißt (Geraden-) Spiegelung an der Geraden g,
wenn sie
- Geraden in Geraden,
- Strecken in gleich lange Strecken,
- rechte Winkel in rechte Winkel abbildet,
- die Gerade g punktweise auf sich abbildet ("Fixpunktgerade")
- und Umkehr-Abbildung von sich selber ist.

Eine einfache Folgerung aus der Definition der Spiegelung ist die übliche Konstruktion:

Ein Punkt A, der nicht auf g liegt, soll gespiegelt werden. Zeichne das Lot von A auf g mit dem Fußpunkt F.

Der Bildpunkt A' muss auf der Geraden durch A und F liegen, denn ...
Der Bildpunkt A' muss auf der anderen Seite von g im gleichen Abstand von F wie der Punkt A liegen, denn ...

Kurz gesagt: Die Spiegelgerade g ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'.

Weitere einfache Folgerungen sind:

Parallelen werden auf Parallelen abgebildet.
Die einzigen Fixgeraden sind die Spiegelgerade g und alle dazu senkrechten Geraden.
Wird eine Gerade h gespiegelt, dann ist die Spiegelgerade g entweder Mittel-Parallele zwischen h und Bild-Gerade h' oder Winkelhalbierende des Winkels zwischen h und h'.
Das Bild eines Dreiecks ist ein dazu kongruentes Dreieck mit entgegengesetztem Umlaufsinn.

Merke also: Eine Geradenspiegelung ist längentreu und winkeltreu.

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