III.2. Regelmäßige Vielecke und ihre Symmetriegruppen

Definition:
Ein Vieleck heißt regelmäßig,
wenn es keine Überkreuzungen hat, alle Eck-Punkte auf einem Kreis liegen, alle Seiten gleich lang sind.

Symmetrien des regelmäßigen n-Ecks:

Identität ("Drehung um 0°", "Drehung um 360°")

n - 1 Drehungen: Drehwinkel	360°	× k, k = 1, 2, ..., n - 1

	n

n Spiegelungen:	Ist n ungerade,	gehen alle Spiegelachsen durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite.
	Ist n gerade,	geht die Hälfte der Spiegelachsen durch gegenüber-liegende Ecken, die andere Hälfte durch gegen-überliegende Seitenmitten.

Definition:

Die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks heißt auch Diedergruppe und wird mit D_n abgekürzt.
(Di-eder = "Zweiflächner" im Gegensatz zu Poly-eder = "Vielflächner")

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Die Diedergruppe D_n hat die Ordnung 2n.

Die n - 1 Drehungen zusammen mit der Identität bilden eine Untergruppe der Ordnung n; sie wird mit C_n abgekürzt; alle Symmetrien aus C_n lassen sich durch HAF aus der Elementar-Drehung um 360°/n erzeugen (man sagt auch: C_n ist zyklisch).

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