Beispiele:

• D₄ ist die Symmetriegruppe des Quadrats.
• D₃ ist die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks.
• D₂ wäre die Symmetriegruppe des "regelmäßigen Zweiecks" !?! Die Symmetriegruppe D₂ besteht aus der Identität, einer Drehung und zwei Spiegelungen. Aus der Abgeschlossenheit folgt, dass die Drehung eine Punkt-Spiegelung ist und die beiden Spiegelachsen aufeinander senkrecht stehen. Figuren mit diesen Symmetrien sind Rechteck und Raute.
   
  In D₂ ist jede Symmetrie zu sich selbst invers. ("Kleinsche Vierer-Gruppe").
   
  Man kann allgemein zeigen, dass eine Vierer-Gruppe entweder Kleinsch oder zyklisch ist, also entweder D₂ oder C₄ .
   
• C₂ besteht nur aus der Identität und einer Punkt-Spiegelung: Parallelogramm.
• D₁ besteht nur aus der Identität und einer Spiegelung: Drachen.

Klassifikationssatz für endliche Gruppen ebener Bewegungen

• Die einzigen endlichen Gruppen ebener Bewegungen sind die Diedergruppen D_n und ihre zyklischen Untergruppen C_n.

Die Beweisbedürfigkeit liegt bei dem Wort "einzigen".

Sei G eine Gruppe ebener Bewegungen, von der wir nur voraussetzen, dass sie nur endlich viele Elemente enthält.

1. G kann keine Translation enthalten; denn ... .
   D.h. G enthält außer der Identität nur Drehungen oder Spiegelungen.
2. Enthält G mehrere Drehungen, müssen sie alle ein gemeinsames Dreh-Zentrum haben; ...
3. Alle vorkommenden Drehungen in G werden von einer Elementardrehung erzeugt; ...
4. Wenn G eine Drehung und eine Spiegelung enthält, muss die Spiegelachse durch das Dreh-Zentrum gehen; ...
5. Wenn G mehrere Spiegelungen enthält, dann enthält G auch Drehungen; ...
6. Wenn G n Drehungen einschließlich der Identität enthält, dann enthält G entweder keine Spiegelungen oder n Spiegelungen.

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