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III.3. Bandornamente und ihre Symmetriegruppen

Typisch für Bandornamente ist die (theoretisch) unendliche Wiederholung eines Musters entlang eines Streifens. Man kann z.B. ein Bandornament durch Abrollen eines Zylinders erzeugen, auf dessen Mantel ein Muster eingeprägt ist.
Unendliche Wiederholung eines Musters entlang eines Streifens bedeutet beliebig häufige HAF einer festen Translation - in beiden Richtungen, also mitsamt ihrer Inversen.

Sei t eine Translation mit der Verschiebungslänge a. Um Schreibarbeit zu sparen, kürzen wir die mehrmalige HAF analog zur Potenzschreibweise bei der Multiplikation ab: t² = t o t , tⁿ⁺¹ = tⁿo t .

Dabei kann n auch negativ oder Null (=> Identität) sein.

Die Symmetrien eines Bandornaments bilden eine Gruppe, die wir als BO-Gruppe bezeichnen.

Definition:

Eine BO-Gruppe ist eine Gruppe von Bewegungen, in der es eine Translation t gibt, so dass sich jede Translation der Gruppe in der Form tⁿ mit ganzzahligem n darstellen lässt.
Die Verschiebungslänge a von t heißt Elementardistanz.

Die Translationen einer BO-Gruppe bilden eine Untergruppe T = {tⁿ | n ganz}.

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