Welche Symmetrien kann es sonst noch in einer BO-Gruppe geben?

1. Wenn eine BO-Gruppe eine Spiegelung enthält, kann die Spiegelachse nur entweder in Translations-Richtung ("Längs-Achse") oder senkrecht dazu ("Quer-Achse") liegen; sonst gäbe es eine Schub-Spiegelung in Richtung der Spiegelgeraden (warum?); die HAF dieser Schub-Spiegelung mit sich selbst ergäbe eine Translation in einer anderen Richtung als der von t, also eine Translation, die nicht in T liegt.
    
   Eine BO-Gruppe kann außer Punkt-Spiegelungen keine sonstigen Drehungen enthalten; denn ... .

2. Es kann nur eine einzige Spiegelung s_l geben, deren Spiegelachse l in Translations-Richtung liegt - wir wollen sie Spiegelung an der Längs-Achse oder Längs-Spiegelung nennen - ; denn ... .
    
   Mit s_l liegen auch die Schub-Spiegelungen s_l o tⁿ in der BO-Gruppe.
   T, vereinigt mit der Menge dieser Schub-Spiegelungen, bildet eine BO-Gruppe:
   T È s_l T .      [Beispiel ansehen]

3. Wenn es eine Spiegelung s_q gibt, deren Spiegelachse q senkrecht zur Translations-Richtung liegt, dann gibt es davon unendlich viele, nämlich s_q o tⁿ , deren Spiegelachsen ("Quer-Achsen") immer den Abstand a/2, also halbe Elementardistanz haben - wir wollen sie Quer-Spiegelungen nennen.
    
   T, vereinigt mit der Menge dieser Quer-Spiegelungen, bildet eine BO-Gruppe:
   T È s_qT .      [Beispiel ansehen]

4. Wenn es eine Punkt-Spiegelung d_P gibt, dann gibt es davon unendlich viele, nämlich d_P o tⁿ , deren Spiegel-Zentren immer im Abstand a/2, also halbe Elementardistanz in Translations-Richtung liegen.
    
   T, vereinigt mit der Menge dieser Punktspiegelungen, bildet eine BO-Gruppe:
   T È d_PT .      [Beispiel ansehen]

5. Wenn eine BO-Gruppe zwei der drei Symmetrien s_l , s_q , d_P enthält, dann auch die dritte; dabei liegen die Spiegel-Zentren der Punktspiegelung in den Schnittpunkten der Quer-Achsen mit der Längs-Achse.
    
   T È s_l T È s_q T È d_PT   bildet eine BO-Gruppe.      [Beispiel ansehen]

6. Kann es außer den unter 2) genannten noch andere Schub-Spiegelungen in einer BO-Gruppe geben?
   Die HAF einer Schub-Spiegelung mit sich selbst ergibt eine Translation: Diese muss in T liegen. Also: Wenn es eine solche Schub-Spiegelung s_l o t' gibt, wobei die Verschiebungslänge von t' möglichst klein sein soll, dann muss ihre Spiegelachse in Richtung von t liegen (Längs-Achse) und die Verschiebungslänge von t' muss a/2, also gleich der halben Elementardistanz sein.
    
   Mit s_l o t' liegen auch die Schub-Spiegelungen s_l o t' o tⁿ in der BO-Gruppe.
    
   T, vereinigt mit der Menge dieser Schub-Spiegelungen, bildet eine BO-Gruppe:
   T È s_l o t'T      [Beispiel ansehen]

7. Wenn es in einer BO-Gruppe die Schub-Spiegelung s_l o t' wie in 6) beschrieben gibt, dann kann diese Gruppe keine Längs-Spiegelung enthalten; denn ...
    
   Wenn eine BO-Gruppe zwei der drei Symmetrien s_l o t' , s_q , d_P enthält, dann auch die dritte; dabei liegen die Spiegel-Zentren der Punktspiegelungen in der Mitte zwischen den Schnittpunkten der Quer-Achsen mit der Längs-Achse.
    
   T È s_l o t'T È s_q T È d_PT bildet eine BO-Gruppe.      [Beispiel ansehen]

[Zusammenfassung der Beispiele]

Klassifikationssatz für Bandornamente:

• Es gibt sieben wesentlich verschiedene BO-Gruppen.