Platonische Körper

Wir wollen Polyeder genauer kennzeichnen.

Zu jeder Ecke gehört ein Eckenkranz paarweise benachbarter Vielecke.

Die Eckenkränze zweier Ecken heißen kongruent, wenn die jeweiligen Vielecke kongruent sind und in der gleichen Reihenfolge (orientiert an der "Rechte-Hand-Regel") angeordnet sind.

Wir notieren die Eckenzahlen der Vielecke als Liste.

Stoßen z.B. an einer Ecke ein Dreieck, ein Viereck und ein Fünfeck aneinander (orientiert an der "Rechte-Hand-Regel"), notieren wir das so: (3,4,5) oder (4,5,3) oder (5,3,4).

Ein solcher Zahlen-Zyklus heißt Charakteristik der Ecke.

Beispiele für Ecken-Charakteristiken:

Definition:

Würfel, Tetraeder und Oktaeder sind Platonische Körper, der Sternkörper dagegen nicht.

Satz über die Platonischen Körper

• Es gibt genau fünf Platonische Körper.

1. Behauptung: Es gibt nicht mehr als 5.
2. Behauptung: Es gibt die zwei fehlenden.

Beweis der 1. Behauptung:
Aus der Definition folgt, dass alle Flächen kongruente regelmäßige n-Ecke (n ³ 3) sind und an jeder Ecke gleich viele, sagen wir m Flächen (m ³ 3) aneinander stoßen. Für die Summe der Innenwinkel der Vielecke muss dann in jeder Ecke des Platonischen Körpers gelten:

Die einzigen Lösungen der Ungleichung sind:

Lösung a b c d e m 3 3 4 3 5 n 3 4 3 5 3

a   Tetraeder b   Würfel c   Oktaeder

Wieviele Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) haben die Körper d und e?

Für den Körper d gilt: Alle Flächen sind Fünfecke; es gibt also 5F/2 Kanten. An jeder Ecke stoßen drei Kanten zusammen; es gibt also insgesamt 5F/3 Ecken. Eingesetzt in die Eulersche Polyeder-Formel ergibt sich: F = 12, K = 30, E = 20. Der Körper heißt Dodekaeder ("Zwölfflächner").

Analog ergibt sich für den Körper e: F = 20, K = 30, E = 12. Das ist ein Ikosaeder ("Zwanzigflächner").

Dass es sie gibt, das Dodekaeder und das Ikosaeder, kann man durch eigenes Herstellen belegen!

• Dodekaeder und Ikosaeder sind dual und haben dieselbe Symmetrie-Gruppe.

Satz über die Dodekaeder-Gruppe

• Die Dodekaeder-Gruppe hat die Ordnung 60 und besteht aus der Identität, sowie
  je vier Drehungen (72°, 144°, 216°, 288°) um die sechs Flächenmitten-Achsen,
  je einer 180°-Drehung um die fünfzehn Kantenmitten-Achsen,
  je zwei Drehungen (120°, 240°) um die zehn Raum-Diagonalen.

Mit mehr Aufwand (vgl. Hermann Weyl: Symmetrie, Basel 1955) beweist man den

Klassifikationssatz für endliche Gruppen (eigentlicher) räumlicher Bewegungen

• Die einzigen endlichen Gruppen (eigentlicher) räumlicher Bewegungen sind
  die Diedergruppen D_n ,
  die zyklischen Gruppen C_n und
  die drei Symmetrie-Gruppen der Platonischen Körper.

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